Aprendimos hoy... Raices Complejas

Hablar de Raices complejas es bueno comentar que debes tener un amplio dominio sobre numeros complejos, algebra ya que su procedimiento es un poquito largo; De modo que mentalícese, respire profundamente, encienda una varita de incienso y adopte la posición de flor de loto antes de iniciar a trabajar en este metodo ;-).

Asi mismo, previamente definamos algunos conceptos:

Definición de Numero complejo:


Describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Definición de Polinomios

se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.

Ejemplo:


z=a+ib i=√(-1) i^2=-1

La multiplicación, suma y resta de numeros complejos se hace de la forma:

Suma Resta ****>>> Real con real e imaginario con imaginario

Multiplicación ****>>> Real con todos e imaginario con todos

(a+bi)+(a1+b2i)=(a+a1)+(bi+b2i)
(a+bi)-(a1+b2i)=(a+a1)-(bi+b2i)
(a+bi)+(a1+b2i)=a(a1+bi2)+bi(a1+b2i)

Por su parte, la division es un poco laboriosa por su procedimiento:

(a1+b1i)/(a2+b2i)=(a1+b1i)(a2-b2i)/(a2+b2i)(a2-b2i)

Para ello, utilizaremos el Metodo de Newton-Raphson, en la solución de este problema, con la finalidad de obtener raices negativas.

Teniendo un numero(no importa si es imaginario o real) se usa la función original para obtener el error.

si se tienen las partes(real e imaginaria) debe de usarse esto:

|a+ib|=√((a^2)+(b^2)).

Aprendimos hoy... Metodo del Punto Fijo

Que tal a todos, espero que esten bien. El dia de hoy estudiamos este metodo que en lo personal me dejo muy buena impresión; he aqui las razones ;).

Este metodo tiene una caracteristica muy singular: Dependera del grado de abstracción que tengas para poder derivar, es decir algunas personas piensan en Matematicas en un concepto que un Profesor del Tesoem (aka Gaona ;-)) diria la Teoria de la vanidad.

Veamos un ejemplo:

Despejar:(x^2)-( e^-x)

Tenemos 2 opciones para poder despejar

x= √(e^-x)

(z^2)=(e^-x)

Como existe igualdad podemos proceder usando un logaritmo con la finalidad de deshacernos del exponencial e:

ln(x^2)=ln(e^-x)------>ln(x^2)=-x-----> x=-ln(x^2)

Como comentaba, las Matematicas son un mundo muy impresionante y que en verdad recomiendo aprendas estudies, etc. Recuerda las Matematicas, el Arte y el Software son Libres ;-)

Aprendimos hoy... Metodo de la Secante

Que tal amigos, en esta ocasión vamos a ver como se puede resolver una ecuación mediante el Metodo de la Secante.

Definición

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

Ejemplo:




Ahora haremos una pequeña tabla donde haremos la evaluación con valores de un rango de 0 a 5.



Ahora, apliquemos la formula, para completar nuestro ejemplo ;-):







Ya casi terminamos... Ahora, haremos el calculo del error, mediante la siguiente tablita:



Como pueden ver, es muy sencillo. Esperamos sus comentarios y sugerencias, con la finalidad de que todos podamos aprender Metodos Numericos ;-)

Aprendimos hoy... Metodo de Newton-Raphson

Antes de entrar a explicar directamente este metodo, debemos dar un pequeño reconocimiento a Isaac Newton que ha hecho posible todo el estudio matematico, que hoy en dia podemos hacer. Este importante cientifico que estudio no solo Matematicas, sino tambien Fisica, Filosofia, entre otros.

Si deseas aprender mucho más de Isaac Newton, haz click aqui ;-)

Bien, vayamos al grano:

Este metodo requiere que previamente conozcas a la perfección el derivar una función, ya que trabaja con ella directamente, al momento de hacer las iteraciones.

Para ello, tenemos esta excelente formula que aplicaremos:

x=x0-(f(xo)/f'(x0)

Aprendimos hoy... Metodo de Regula Falsi

El dia de hoy aprenderemos que es el metodo de Regula Farsi o Falsa posición.

Este metodo, tiene una estructura similar al Metodo de Bisección; sin embargo aqui tendremos una tabla con nuevos campos con el fin de medir el error obtenido al hacer el calculo, asi como las iteraciones, con el objetivo de tener un resultado aproximado.

Para ello, utilizaremos la siguiente formula, que nos permitira evaluar:

(f(b)/b-xr) = (f(a)/xr-a)


Es momento de despejar a xr. La formula final, queda de la siguiente manera:

xr=(f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a))

En estos dias, estaremos subiendo una lista de ejercicios propuestos; si deseas enviar uno ya resuelto para ejemplificar y nutrir este blog, envialo a albertoluebbert@ideashappy.com ;-).

Aprendimos hoy... Metodo de Bisección II

El dia de hoy, y continuando con el aprendizaje del Metodo de Bisección, podremos observar que ahora vienen nuevos campos, en los cuales principalmente iremos viendo nuestra tendencia a error, hacia el cambio de signo.

Para ello, ponemos aqui las reglas de como son evaluadas las ecuaciones mediante este metodo.

1.- Obtener el intervalo donde se obtiene el corte.
2.- Utilizar la formula para xn, xn= (a+b)/2.
3.- Verificar que f(a), f(xn), f(b), almenos uno debe ser negativo.
4.- En base al resultado onbtener nuevos subintervalos.

Estamos pensando tambien en estos dias ejercicios para todos nuestros seguidores, con lo cual aprenderemos de manera conjunta esta interesante materia ;-).

Aprendimos hoy... Metodo de Bisección

Definición de Ecuación Lineal

una ecuacion lineal es aquella donde sus potencias son 0 y/o 1, osea la forma:

bx+c = 0; ejemplo:
2x+1=0.

una ecuacion es no lineal cuando sus potencias son 2,3,4,..,n; con la forma:

ax2+bx+c=0; ejemplo:

2x2+4x+2=0

El metodo de bisección consiste en ser un metodo de busqueda de raices, donde tiene como objetivo en que rangos se vuelve un valor de positivo a negativo, o viceversa.

Ejemplo de Metodo de Bisección

ex-x=4

ok este metodo se divide en 2 sencillos pasos:

@.- despues de tener la ecuacion(la cual llamaremos Φ) dividimos los intervalos en el numero de partes que queremos obtener o especificar.

ex-x=4 intervalos de [-10 a 10]

h= 10 - (-10)/10=2 (intervalo de 2 pasos)

2.- se hace una tabla con Φ para obtener asi las coordenadas y donde exista un cambio de + a - o viceversa osea una biseccion de la grafica es en ese punto donde determinara que existe una raiz en esos intervalos osea una biseccion

x Φ(x)

-10 22032.46

-8 2984.46

-6 405.42

-4 34.59

-2 5.38

0 -3

2 -5.86

4 -7.98

6 -9.47

8 -11.94

10 -13.97

Aprendimos hoy... Error porcentual

El error porcentual es la cantidad minima de un todo, el cual aqui representa un error que se ha dado al momento de hacer el calculo de una construcción de un diseño, de un sistema, etc.

Para ello, primero utilizaremos la siguiente formula:

Posterior a ello, hacemos y calculamos los porcentajes en cada una de sus variables, es decir, n, z, etc etc.


dp/p (*) 100 esta notacion nos indica el porcentaje en que fallo el calculo si es minimo no existe ningun problema, de hecho esto se transforma asi:

dp/p (*) 100 = dp%

(*) Multiplicación.

Aprendimos hoy... Teoria de Errores

¿Que es la Teoria de Errores?

La teoria de errores nos permitira estudiar y analizar las perdidas que tenemos en cuanto a mediciones o calculos, que en algunos campos como por ejemplo la Construcción no habria tanto problema, pero que sistemas con precisión obtendriamos resultados muy distintos.

Formula para obtener la perdida con respecto al Calculo previo:

dO=(dO/dx1)dx1+(dO/dx2)dx2+(dO/dx3)dx3+...+(dO/dxn)dxn

donde d es la Derivada respecto de x, y, ... n, etc.

Espero sus amables comentarios y sobre todo si tienen algunas sugerencias respecto a ejercicios y mayor bibliografia ;-).

Temario de Metodos Numericos

Unidad	Temas	Subtemas
1	Teoría de errores.	1.1 Importancia de los métodos numéricos. 1.2 Conceptos básicos: cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. 1.3 Tipos de errores. 1.3.1 Definición de error: error absoluto y relativo. 1.3.2 Error por redondeo. 1.3.3 Error por truncamiento. 1.3.4 Error numérico total. 1.4 Software de cómputo numérico 1.5 Métodos iterativos.
2	Métodos de solución de Ecuaciones	2.1 Métodos de intervalo. 2.2 Método de bisección. 2.3 Método de aproximaciones sucesivas. 2.3.1 Iteración y convergencia de ecuaciones. Condición de Lipschitz. 2.4 Métodos de Interpolación. 2.4.1 Método de Newton Raphson. 2.4.2 Método de la secante. 2.4.3 Método de Aitken. 2.5 Aplicaciones.
3	Métodos de solución de sistemas de ecuaciones.	3.1 Métodos iterativos. 3.1.1 Jacobi. 3.1.2 Gauss – Seidel. 3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. 3.2.1 Método Iterativo secuencial. 3.3 Iteración y convergencia de sistemas de ecuaciones. 3.3.1 Sistemas de ecuaciones de Newton. 3.3.2 Método de Bairstow. 3.4 Aplicaciones.
4	Diferenciación e integración numérica	4.1 Diferenciación numérica. 4.1.1 Fórmula de diferencia progresiva y regresiva. 4.1.2 Fórmula de tres puntos. 4.1.3 Fórmula de cinco puntos. 4.2 Integración numérica. 4.2.1 Método del trapecio. 4.2.2 Métodos de Simpson. 4.2.3 Integración de Romberg. 4.2.4 Método de cuadratura gaussiana. 4.3 Integración múltiple. 4.4 Aplicaciones.
5	Solución de ecuaciones diferenciales.	5.1 Métodos de un paso. 5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado. 5.1.2 Método de Runge-Kutta. 5.2 Método de pasos múltiples. 5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. 5.4 Aplicaciones

Bibliografias;

Nieves, Jose A. Metodos Numericos Ed. Limesa
Chapocas Metodos Numericos Ed. Preintive-Hall
Burden Metodos Numericos Ed. Megraw-Hill

Bienvenido a Blog de ALMSX

Saludos:

Este pequeño blog inicia con la finalidad de dar a conocer lo que ire aprendiendo en la materia de Metodos Numericos, la cual es muy importante debido a que en ella aprenderemos todo lo relacionado a las matematicas, su solución a traves de las matematicas, empleado en casos de la vida real.